题目内容

已知向量
a
=（sinx，cos（π-x）），
b
=（2cosx，2cosx），函数f（x）=
a
•
b
+1．
（Ⅰ）求f(-
π
4
)的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，
π
2
]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．
分析：（1）利用向量的坐标运算将f（x）化简为f（x）=sin2x-cos2x，从而可求f(-
π
4
)的值；
（2）利用f（x）=
2
sin(2x-
π
4
)，由x∈[0，
π
2
]可得2x-
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]，从而可求其最大值和最小值及求出相应的x的值．
解答：解：（Ⅰ）∵
a
=（sinx，cos（π-x）），
b
=（2cosx，2cosx），
∴f（x）=
a
•
b
+1=2sinxcosx-2cos2x+1
=sin2x-cos2x，…（4分）
则f(-
π
4
)=-1．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=sin2x-cos2x=
2
sin(2x-
π
4
)．…（7分）
因为x∈[0，
π
2
]，所以2x-
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]．…（9分）
则当2x-
π
4
=
π
2
时，即x=
3π
8
时，f（x）的最大值是
2
；         …（11分）
当2x-
π
4
=-
π
4
时，即x=0时，f（x）的最小值是-1．…（13分）
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查三角函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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