题目内容

已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
分析：（I）利用向量垂直的充要条件：数量积等于0，列出方程，解三角方程求出角．
（II）利用向量的数量积公式得到三角方程sinθ-cosθ=
1
5
，利用三角函数的平方关系求出sinθ+cosθ；解方程组求出正弦、余弦，进而得到正切；利用二倍角公式及和角公式求出值．
解答：解：（I）∵
a
⊥
b

∴sinθ-cosθ=0即tanθ=1
∵θ∈（0，π）
∴θ=
π
4

（II）由sinθ-cosθ=
1
5
平方得2sinθcosθ=
24
25

∴(sinθ+cosθ)2=
49
25

∴sinθ+cosθ=
7
5

得sinθ=
4
5
，cosθ=
3
5
，tanθ=
4
3
，tan2θ=-
24
7

得tan(2θ+
π
4
)=-
17
31
．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、三角函数的平方关系、二倍角的正切公式及和角的正切公式．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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