Question

【题目】如图，、分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线与轴交于点，若，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、、、四点，求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I） 先确定A点坐标为（a2，0），利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．

（Ⅰ）由得，∴点坐标为；∵∴是的中点∴，∴椭圆方程为

（Ⅱ）当直线与之一与轴垂直时，四边形面积；

当直线，均与轴不垂直时，不妨设，

联立代入消去得

设，则，

∴，同理

∴四边形面积

令，则，，易知是以为变量的增函数

所以当，时，，∴

综上可知，，∴四边形面积的取值范围为