Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为

2

2

．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为

2

2

，确定几何量之间的关系，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，求得x₁=

-4k2+4k+2

1+2k2

，同理得x₂=

-4k2-4k+2

1+2k2

，再利用k_PQ=

y1-y2

x1-x2

，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为

2

2

．
∴

4

a2

+

1

b2

=1，①且

a2-b2

a

=

2

2

，②
由①、②解得a²=6，b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）证明：记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
∵-2，x₁是该方程的两根，∴-2x₁=

8k2-8k-4

1+2k2

，即x₁=

-4k2+4k+2

1+2k2

．
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x₂=

-4k2-4k+2

1+2k2

．…（9分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+2)+k(x2+2)

x1-x2

=

k(x1+x2+4)

x1-x2

=1，
因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，联立方程组是关键．