Question

已知命题p：函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上单调递增；命题q：函数f（x）=ax²-ax+1对?x∈R，f（x）＞0恒成立；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

解答：解：若函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上单调递增，则a＞1，即p：a＞1．
若函数f（x）=ax²-ax+1对?x∈R，f（x）＞0恒成立，
则当a=0时，满足条件，
当a≠0时，要使不等式恒成立，则△＜0，
即△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4，综上0≤a＜4，即q：0≤a＜4．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假．
若p真q假，则

a＞1 a≥4或a＜0

，即a＞1．
若p假q真，则

a≤1 0≤a＜4

，即0≤a≤1．
综上：a≥0．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，先求出命题p，q成立的等价条件，是解决此类问题的关键．