Question

已知x，y都是正数
（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；   
（2）若

4

x

+

16

y

=1，求x+y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于3x+2y=12，再根据xy=

1

6

•3x•2y，利用基本不等式求得xy的最大值．
（2）由x，y∈R⁺且

4

x

+

16

y

=1可得，x+y=(x+y)(

4

x

+

16

y

)=

4y

x

+

16x

y

+20，利用基本不等式求得x+y的最小值．

解答：解：（1）∵3x+2y=12，∴xy=

1

6

•3x•2y≤

1

6

×(

3x+2y

2

)2=

1

6

×36=6，当且仅当3x=2y=6时，等号成立．
∴当且仅当3x=3时，xy取得最大值6．
（2）由x，y∈R⁺且

4

x

+

16

y

=1可得，x+y=(x+y)(

4

x

+

16

y

)=

4y

x

+

16x

y

+20≥2

4y x • 16x y

+20=36，
当且仅当

4y

x

=

16x

y

，即x=12且y=24时，等号成立，
所以，x+y的最小值是36．

点评：题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．