Question

已知x、y都是正数，则满足x+2y+xy=30，求xy的最大值，并求出此时x、y的值．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得x+2y≥2

2

•

xy

，令

xy

=t，则2

2

t+t²≤30，解出不等式可得t的最大值，即xy的最大值，结合不等式取等号的条件可求得x，y值．

解答：解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2

2

•

xy

，当且仅当x=2y时取到等号；
又x+2y+xy=30，令

xy

=t，则2

2

t+t²≤30，
∵t＞0，∴0＜t≤3

2

，
∴0＜xy≤18．
当xy=18时，又x=2y．
∴x=6，y=3．
因此当x=6，y=3时，xy取最大值18．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，注意基本不等式求最值使用的条件：一正、二定、三相等．本题也可把xy变为关于x的函数后再运用基本不等式求最值．