题目内容
（2012•浦东新区一模）已知函数f（x）=1+loga（x-1）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为
．
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| 8 |
| 1 |
| 8 |
分析：根据对数函数的性质先求出P的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用基本不等式求解即可．
解答：解：∵x=2时，y=1，
∴函数y=log2（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）即P（2，1），
∵点P在直线mx+ny=1上，
∴2m+n=1，
∵mn有最大值
∴mn＞0，
由基本不等式可得，1=2m+n≥2
∴mn≤
当且仅当2m=n=
即m=
，n=
时取等号
故答案为：
∴函数y=log2（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）即P（2，1），
∵点P在直线mx+ny=1上，
∴2m+n=1，
∵mn有最大值
∴mn＞0，
由基本不等式可得，1=2m+n≥2
| 2mn |
∴mn≤
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故答案为：
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点评：本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，是高考考查的重点内容．
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