Question

【题目】已知函数，

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；

（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）求，令，解不等式求x的范围得单调区间。（2）构造函数，再求，从而得函数在区间上单调递减在区间上单调递增，因为关于的方程在区间上有两个不等的根，所以，解不等式组求出实数的取值范围；（3）构造函数，要使存在，当时，恒有，因为，所以只须即可。也就是存在，当时函数是单调递增的，求导得，只须在时成立。解得k的范围。

试题解析：（1）因为函数的定义域为，且，

令，即

解之得

所以函数的单调递减区间为

（2）令，且定义域为所以

令，，列表如下：

		1
	+	0	-
	递增	极大值	递减

所以函数在区间先单调递减后单调递增，故要使有两个不等的根，

只须 即

所以

（3）令，且

要使存在，当时，恒有，则只须即可，也就是存在，当时函数是单调递增的，

又因为，只须在时成立，即，解得，所以的取值范围是.