Question

【题目】已知函数，（其中，是自然对数的底数）。

（Ⅰ）若关于的方程有唯一实根，求的值；

（Ⅱ）若过原点作曲线的切线与直线垂直，证明：；

（Ⅲ）设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)证明见解析；（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数的知识求解；（Ⅱ）借助题设条件运用导数的知识推证；（Ⅲ）依据题设条件运用导数的知识求解。

试题解析：

（Ⅰ）因为，所以，

设，则，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，

因为方程有唯一根，

所以，且，

故，所以；

（Ⅱ）因为过原点所作曲线的切线与直线垂直，所以切线的斜率为，且方程为。

设与曲线的切点为，

所以，

所以，且，

令，则，所以在（0,1）上单调递减，在上单调递增。若，因为，，所以，

而在上单调递减，所以。

若，因为在上单调递增，且，则，

所以（舍去）。

综上可知，；

（Ⅲ）因为，所以。。

①当时，因为在上递增，所以，所以在上递增，恒成立，符合题意。

②当时，因为在上递增，因为，则存在，使得。所以在上递减，在上递增，又时，，所以不恒成立，不合题意。综合可知，所求实数的取值范围是。