Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知：c=1，根据椭圆定义可求得a，根据b²=a²-c²可得b；
（Ⅱ）分直线l的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线l的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论；
解答：（Ⅰ）解：由题意知：c=1．
根据椭圆的定义得：，解得．
所以 b²=2-1=1．
所以椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率为0时，．
则 ．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，可得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
显然△＞0，则，
因为x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
所以=
=
=
=，即 ．
综上，=-，即为定值．
点评：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．