Question

设f(2cosx-1)=1-cos2x(x∈[

π

3

，

2π

3

])，则f（x）的值域为

[

3

4

，1]

．

Answer 1

分析：2cosx-1=t，则cosx=

t+1

2

，由条件求出f（t）的解析式．根据x的范围求出t 的范围，再利用二次函数的性质求出
f（t）的最值，即得f（x）的值域．

解答：解：令2cosx-1=t，则cosx=

t+1

2

，故由 f(2cosx-1)=1-cos2x(x∈[

π

3

，

2π

3

])可得
f（t）=1-(

t+1

2

)2=

3-t2-2t

4

=

4-(t+1)2

4

．
再由 x∈[

π

3

，

2π

3

]，可得-

1

2

≤cosx≤

1

2

，故-2≤t≤0．
-3≤t≤1可得当t=-1时，f（t） 有最大值等于1，
当t=-2或0时，f（t） 有最小值等于 

3

4

．
故f（x）的值域为 [

3

4

，1]．
故答案为[

3

4

，1]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，余弦函数的定义域和值域，二次函数性质的应用，属于中档题．