Question

f（x）=x²-a^x，若对任意x∈（-2，1），f(x)＜

1

2

恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

∵对任意x∈（-2，1），f(x)＜

1

2

恒成立，
∴对任意x∈（-2，1），x²-a^x＜

1

2

恒成立．
∵x∈（-2，1）时，∴x²∈（0，4），
当a＞1时，y=-a^x是减函数，t=x²在（-2，0）是减函数，在（0，1）是增函数．
∴当x²→0，即x→0时，x²-a^x→-1＜

1

2

；
当x²→4，即x→-2时，x²-a^x→4-

1

a2

＜

1

2

，即

1

a2

＞

7

2

，无解；
当x²→1，即x→1时，x²-a^x→1-a＜

1

2

，即a＞

1

2

．不成立．
此时，a的取值范围∅．
当0＜a＜1时，y=-a^x是增函数，t=x²在（-2，0）是减函数，在（0，1）是增函数．
∴当x²→0，即x→0时，x²-a^x→-1＜

1

2

；
当x²→4，即x→-2时，x²-a^x→4-

1

a2

＜

1

2

，即

1

a2

＞

7

2

，且0＜a＜1．解得0＜a＜

14

7

；
当x²→1，即x→1时，x²-a^x→1-a＜

1

2

，即a＞

1

2

．且0＜a＜1．
解得

1

2

＜a＜1．
此时，a的取值范围是（

1

2

，

14

7

）．
故答案为：（

1

2

，

14

7

）．