Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0；
（2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：f(-a)=

1

4

(a2-1)；
（3）若函数f（x）有两非整数零点，且这两零点在相邻两整数之间，试证明：存在整数k，使得|f(k)|＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）只需要转化为相应方程的根的问题即可解答；
（2）充分利用函数与方程的思想，在对应方程当中利用韦达定理即可解答；
（3）当中充分利用数形结合的思想即可获得相应的不等条件，再结合二次函数配方利用函数的思想即可获得函数值的范围．

解答：解：（1）证明：f（x）=x²+ax+b无零点，
△=a²-4b＜0，
b＞

a2

4

≥0．
（2）证明：设f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
则2m+1=-a，m(m+1)=b=

1

4

(a2-1)，
所以f(-a)=b=

1

4

(a2-1)．

（3）证明：设相邻两整数为t、t+1，则f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a²-4b＞0，
根据二次函数的单调性，f^/（t）=2t+a＜0，f^/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
从而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+

a

2

＜0．
所以0＜t+

a

2

+1≤

1

2

或-

1

2

＜t+

a

2

＜0．
若0＜t+

a

2

+1≤

1

2

，
则0＜f(t+1)=(t+1+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，从而|f(t+1)|＜

1

4

；
若-

1

2

＜t+

a

2

＜0，
则0＜f(t)=(t+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，从而|f(t)|＜

1

4

．
所以，存在整数k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜

1

4

．

点评：此题考查了零点概念、代数恒等变形、含参数的二次函数等知识，是对二次函数性质比较综合和深刻的考查．在解答过程当中问题转化的能力以及数形结合的思想得到了淋漓尽致的考查，值得同学们体会反思．