Question

已知函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析：先将函数配成f(x)=(x+

a

2

)2+3-

a2

4

(|x|≤2)，然后讨论函数的对称轴与[-2，2]的位置关系，分别求出函数的最小值，建立不等关系，解之即可．

解答：解：设f（x）在[-2，2]上的最小值为g（a），
则满足g（a）≥a的a的最小值即为所求．
配方得f(x)=(x+

a

2

)2+3-

a2

4

(|x|≤2)
（1）当-2≤-

a

2

≤2时，即-4≤a≤4时，g(a)=3-

a2

4

，
由3-

a2

4

≥a解得∴-4≤a≤2；
（2）当-

a

2

≥2时，即a≤-4，g（a）=f（2）=7+2a，
由7+2a≥a得a≥-7∴-7≤a≤-4
（3）当-

a

2

≤-2时，即a≥4，g（a）=f（-2）=7-2a，
由7-2a≥a得a≤

7

3

，这与a≥4矛盾，此种情形不存在．
综上讨论，得-7≤a≤2∴a_min=-7．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及分离讨论的数学思想，属于基础题．