题目内容

△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：
（1）0＜B≤
π
3
；
（2）acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
；
（3）1＜
1+sin2B
cosB+sinB
≤
2
．
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之．
（I）组建的命题为：已知
 

求证：①
 

②
 

（II）证明：
分析：（1）利用a、b、c成等差数列可推断出2b=a+c，代入关于B的余弦定理中利用基本不等式求得cosB的范围，进而求得B的范围，原式得证．
（2）利用二倍角公式和余弦定理对原式进行化简整理求得等式成立，原式得证．
解答：解：（I）可以组建命题：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：①0＜B≤
π
3

②acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
；
（II）①∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，
∴b=
a+c
2
cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-(
a+c
2
)2
2ac
=
3(a2+c2)-2ac
8ac
≥
6ac-2ac
8ac
=
1
2

且B∈（0，π），∴0＜B≤
π
3

②acos2
C
2
+ccos2
A
2
=a
1+cosC
2
+c
1+cosA
2
=
a+c
2
+
acosC+ccosA
2
=
a+c
2
+
b
2
=
3b
2

故答案为：a、b、c成等差数列，0＜B≤
π
3
，acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
．
点评：本题主要考查了数列与三角函数的综合，余弦定理的应用，二倍角的化简求值．考查了学生对基础知识的理解和灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，A+C=2B，则sinC=（　　）
A、0B、2C、1D、-1
△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
m
=(-
3
，sinA)，
n
=(cosA，1)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为
3
，求b，c．
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，B=60°，则sinC=
1
1
．

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