Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若∠MFN的外角平分线与直线MN交于点P，则P点的横坐标为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 运用椭圆的第二定义可得焦半径公式，可得|MF|，|NF|，利用外角平分线性质，化简整理计算可得结论．

解答 解：设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦点为F（1，0），
离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∵F为右焦点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴由椭圆的第二定义得到，e=$\frac{|MF|}{{d}_{1}}$=$\frac{|NF|}{{d}_{2}}$，
即有|MF|=2-$\frac{1}{2}$x₁，|NF|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
设∠MFN的外角平分线与l交于点P（m，n），
∴$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\frac{|MP|}{|NP|}$，即有$\frac{{x}_{1}-m}{{x}_{2}-m}$=$\frac{2-\frac{1}{2}{x}_{1}}{2-\frac{1}{2}{x}_{2}}$，
化简可得2（x₁-x₂）=$\frac{1}{2}$m（x₁-x₂），
由x₁≠x₂，可得m=4．
则P点的横坐标为4．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的第二定义和性质，考查外角平分线性质，考查学生的计算能力，属于中档题．