Question

【题目】已知函数 .

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若，当时，，且有唯一零点，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

(1)求导后得,再对分四种情况讨论可得函数的单调性;

(2)令=0,可知在上有唯一零点,所以 ①, 要使在上恒成立，且有唯一解，只需，即 ②，再联立①②可知，,然后构造函数,利用导数可得.

（1）依题意，

若，则 ，

故函数在 上单调递增；

若，令，解得 ；

若，则，则 ，

函数在上单调递增；

若，则，则 ，

则函数在上单调递减；

若，则，则函数在上单调递增，在上单调递减；

综上所述，时，函数在上单调递增，

时，函数在上单调递减，

时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）依题意，，而 ，

令，解得，

因为，故，

故在上有唯一零点 ；

又，

故 ①，

要使在上恒成立，且有唯一解，

只需，即 ②，

由①②可知，

令

显然在上单调递减，

因为，

故，

又在上单调递增，

故必有