题目内容
4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），若对任意实数x∈R，都有f（x-3）≤f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）| A． | [$\frac{5π}{6}$，π] | B． | [-π，-$\frac{2π}{3}$] | C． | [-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{6}$] | D． | [-$\frac{2π}{3}，\frac{2π}{3}$] |
分析 当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），分类讨论．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，?x∈R，f（x-3）≤f（x），可得6cosα≥3，解出即可．
解答 解：∵当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），
∴当0＜x≤-cosα时，f（x）=$\frac{1}{2}$（-x-cosα-x-2cosα+3cosα）=-x；
当-cosα＜x≤-2cosα时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα-x-2cosα+3cosα）=cosα；
当x＞-2cosα时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα+x+2cosα+3cosα）=x+3cosα．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，?x∈R，f（x-3）≤f（x），
∴6cosα≥3，
∴cosα≥-$\frac{1}{2}$，
解得α∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
故选：D．
点评 本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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