Question

【题目】已知函数（为实数）．

（Ⅰ）若，求函数在处的切线方程．

（Ⅱ）求函数的单调区间．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）．（）见解析（）．

【解析】试题分析：（1）利用导数的定义， ， ，所以切线方程为；（2）求导得到，对进行分类讨论，得到单调区间；（3）由题意， ，在（2）的基础上，进行分类讨论，得到．

试题解析：

（1）当时， ， ．

∴， ，

∴所求切线方程为．

（）．

令，则或，

当时，令，则，令，则．

当时，即时， 恒成立．

当时，即时，令，则或．

令，则．

当即时，令，则或，

令，则．

综上，当时， 的单调增区间为，单调减区间为；

当时， 的单调增区间为和，单调减区间为；

当时， 的单调增区间为；

当时， 的单调增区间为和，单调减区间为．

（）当时， 在上单调递增，

∴的最小值为，

∴，

∴．

当时， 在上单调减，在上单调递增，

∴的最小值为．

∵，

∴， ，

∴，

∴．

当时， 在上单调递减，

∴的最小值为．

∵，∴，

∴．

综上可得．