Question

【题目】函数 在 处取得极值．

（1）求 的单调区间；

（2）若 在定义域内有两个不同的零点，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）问题转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，结合函数的图象求出m的范围即可．

试题解析：

（1） ，

，解得 ，

当 时， ，

即 ，令 ，解得 ；

令 ，解得 ．

所以 在 处取得极小值， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．

（2） 在 内有两个不同的零点，

可转化为 在 内有两个不同的根，

也可转化为 与 的图象有两个不同的交点，

由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，

由题意得， 即

当 时， ；

当 且 时， ；

当 时，显然 （或者举例：当 ， ）．

如图，

由图象可知， ，即

由 可得 ．