Question

【题目】已知函数，若是函数的零点，是函数的零点.

（1）比较与的大小；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1），见解析（2）见解析

【解析】

方法一：利用，利用对不等式进行放缩，可得

，

进而利用单调递增，且和，即可比较与的大小

方法二：设，令函数，从而判断出函数的单调性，即可利用函数的单调性即可比较与的大小

(2) 令函数，则，要证，即证，只要证：，最后通过证明函数在区间上的单调性进行证明即可.

（1）解:

方法一：

因为，所以，所以.

因为，且单调递增，所以

方法二：设，

令函数

则，则

则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以

所以

因为，且单调递增，所以

（2）证明：令函数，

则.

要证，即证

只要证：，

只要证：函数在区间上单调递减.

由题意得

因为

所以

所以

因为单调递增，所以在区间上，

所以在区间上单调递减.

所以原命题得证.