Question

3．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x-1）f′（x）-f（x）＜0恒成立，若a=f（2），b=$\frac{1}{2}$f（3），c=（$\sqrt{2}$+1）f（$\sqrt{2}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． c＜a＜b
• B． b＜a＜c
• C． a＜b＜c
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根据题意，设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，对其求导可得g′（x），结合题意分析可得有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，进而分析可得a=f（2）=$\frac{f（2）}{2-1}$=g（2），b=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{f（3）}{3-1}$=g（3），c=（$\sqrt{2}$+1）f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}-1}$=g（$\sqrt{2}$），结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，
其导数g′（x）=$\frac{（x-1）f′（x）-（x-1）′f（x）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{（x-1）f′（x）-f（x）}{（x-1）^{2}}$，
又由当x∈（1，+∞）时，（x-1）f′（x）-f（x）＜0恒成立，
则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，
又由a=f（2）=$\frac{f（2）}{2-1}$=g（2），b=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{f（3）}{3-1}$=g（3），
c=（$\sqrt{2}$+1）f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}-1}$=g（$\sqrt{2}$），
又由函数g（x）为减函数，
则有b＜a＜c；
故选：B．

点评 本题考查函数的导数与其单调性的关系，关键是依据题意构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$．