Question

（2014•泸州一模）已知函数f(x)=4x3-3x2sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）若f′（x）的最小值为-

3

4

，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于零，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数得到f′（x）的最小值，故有-

3

4

sin2θ=-

3

4

，进而得到导函数的解析式，故函数的极值可求出，根据极值的正负即可判断出函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极小值，由于极小值大于零，以及θ∈（0，π），即可解得θ的取值范围．

解答：解：（I）f'（x）=12x²-6xsinθ，
当x=

sinθ

4

时，f'（x）有最小值为f′(x)=-

3

4

sin2θ，
所以-

3

4

sin2θ=-

3

4

，即sin²θ=1，
因为θ∈（0，π），所以sinθ=1，
所以f'（x）=12x²-6x，
所以f（x）在(0，

1

2

)上是减函数，在(-∞，0)，(

1

2

，+∞)上是增函数，
而f(0)=

1

32

＞0，f(

1

2

)=-

7

32

＜0，
故函数f（x）的零点个数有3个；
（Ⅱ）  f'（x）=12x²-6xsinθ
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=

sinθ

2

，
由θ∈（0，π）知sinθ＞0，根据（I），当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， sinθ 2 )	sinθ 2	( sinθ 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

因此，函数f（x）在x=

sinθ

2

处取得极小值f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

，
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0
整理得0＜sinθ＜

1

2

，又θ∈（0，π），
解得θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)．
所以θ的取值范围是θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和根的存在性定理，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．