题目内容
【题目】在直角坐标系
中，已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
.记
的轨迹为曲线
.以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
(1)求和的直角坐标方程；
(2)求上的点到距离的最小值.
【答案】(1)
；
；(2)
【解析】
(1)根据题意列出方程可求得曲线
的方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直线
的直角坐标方程；
(2)设
，
为曲线上一点，利用点到直线的距离公式和逆用两角差的余弦公式，即可求出上的点到距离的最小值.
(1)由题设得
，化简得
因为直线的极坐标方程为
，
所以直线的直角坐标方程为.
(2)由(1)可设的参数方程为
，（
为参数，
），
设
，为曲线上一点，
所以上的点
到的距离为
，
当
时，
取得最小值7.
故上的点到的距离的最小值为.
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