Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点差法得到•（y₁+y₂）=2p，因为过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，所以=1，AB方程为：y=x-，故y₁+y₂=2p，AB中点横坐标为，再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，能求出p．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ①-②，得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
∴•（y₁+y₂）=2p，
∵过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，
∴=1，AB方程为：y=x-，
∵为AB中点纵坐标，
∴y₁+y₂=2p，
∵，，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-p，
∴x₁+x₂=y₁+y₂+p，
∵=，
∴AB中点横坐标为，
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，
∴，解得p=2．
故选B．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．