Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；
（2）设A（x，y），y²=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

＞0对x≥0都成立
令f(x)=x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

=(x+

3p

4

-

m

2

)2+

mp

2

-(

3p

4

-

m

2

)2＞0对x≥0都成立，下面分类讨论：（i）若

m

2

-

3p

4

≥0，（ii）若

m

2

-

3p

4

＜0，求得m的取值范围即可．

解答：解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，∵∠PQF=90°，
∴A为PF的中点，∵F(

p

2

，0)，  ∴ A(

p

4

，2)，
且点A在抛物线上，代入得2=2p•

p

4

?p=2

2

所以抛物线方程为y2=4

2

x．（5分）
（2）设A（x，y），y²=2px，
根据题意：∠MAF为锐角?

AM

•

AF

＞0且m≠

p

2

AM

=(m-x，-y)， 

AF

=(

p

2

-x，-y)，

AM

•

AF

＞0?(x-m)(x-

p

2

)+y2＞0?x2-(

p

2

+m)x+

pm

2

+y2＞0
∵y²=2px，所以得x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

＞0对x≥0都成立
令f(x)=x2+(

3p

2

-m)x+

pm

2

=(x+

3p

4

-

m

2

)2+

mp

2

-(

3p

4

-

m

2

)2＞0
对x≥0都成立（9分）
（i）若

m

2

-

3p

4

≥0，即m≥

3p

2

时，只要使

mp

2

-(

3p

4

-

m

2

)2＞0成立，
整理得：4m2-20mp+9p2＜0?

p

2

＜m＜

9p

2

，且m≥

3p

2

，
所以

3p

2

≤m＜

9p

2

．（11分）
（ii）若

m

2

-

3p

4

＜0，即m＜

3p

2

，只要使

mp

2

＞0成立，得m＞0
所以0＜m＜

3p

2

（13分）
由（i）（ii）得m的取值范围是0＜m＜

9p

2

且m≠

p

2

．（15分）

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，考查了计算能力．