Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n≠0，a₁=1，a_n+1+2S_nS_n+1=0
（Ⅰ）求证数列{

1

Sn

}是等差数列，并求{a_n}的通项；
（Ⅱ）记b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1+2S_nS_n+1=0，得S_n+1-S_n+2S_nS_n+1=0，两边同除以S_nS_n+1并整理得，

1

Sn+1

-

1

Sn

=2，从而可判断数列{

1

Sn

}是等差数列，可求得S_n，根据S_n与a_n的关系可求得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，拆项后利用裂项相消法即可求得结果；

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1+2S_nS_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+2S_nS_n+1=0，
两边同除以S_nS_n+1，并整理得，

1

Sn+1

-

1

Sn

=2，
∴数列{

1

Sn

}是等差数列，其公差为2，首项为

1

S1

=1，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
又a₁=1，
∴an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，(n≥2，n∈N)

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查由数列递推式求数列的通项、数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．