题目内容

设F1、F2是椭圆=1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值.

思路分析：由定义知|PF1|+|PF2|=6，再由直角三角形的边的关系，可分别求出|PF1|与|PF2|的值，从而求出，但要注意|PF1|＞|PF2|,说明P在右半椭圆上，且直角顶点未定需讨论.

解：由方程知a=3,b=2及c2=a2-b2知c=,故F2(,0)，且|PF1|＞|PF2|,则F1不是直角顶点.

(1)若P为直角顶点，则PF1⊥PF2，于是|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.                     ①

又根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6.                                              ②

由①②知|PF1|=4，|PF2|=2，

∴=2.

（2）若F2为直角顶点，则PF2⊥x轴，可解得P(,±),

∴|PF2|=,则|PF1|=6-|PF2|=.

∴=.

综上可知，的值为2或.

练习册系列答案
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设F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，以F1为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率是
 
．
设F1，F2是椭圆
x2
49
+
y2
24
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（2012•桂林模拟）设F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
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（2013•湛江二模）设F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点，若直线x=ma （m＞1）上存在一点P，使△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则m的取值范围是（　　）
设F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点，若该椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|，且以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF1有公共点，则该椭圆离心率e的取值范围是
 
．

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