题目内容

设F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，以F1为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率是
 
．
分析：由题设知F1M=c，MF2=2a-c，F1F2=2c，由直线F2M与圆F1相切，知∠F1MF2=90°．所以c2+（2a-c）2=4c2，由此能求出该椭圆的离心率．
解答：解：由题设知F1M=c，MF2=2a-c，F1F2=2c，
∵直线F2M与圆F1相切，
∴∠F1MF2=90°．
∴c2+（2a-c）2=4c2，
整理得4a2-4ac=2c2，
∴e2+2e-2=0，
解得e=
3
-1或e=-
3
-1（舍）．
故答案为：
3
-1．
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地利用椭圆性质，恰当地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
（2012•黑龙江）设F1、F2是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=
3a
2
上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）
（2011•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别为其左顶点和上顶点，△BF1F2是面积为
3
的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM、AN分别与已知直线x=4交于点P和Q，试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系．
已知椭圆G与双曲线12x2-4y2=3有相同的焦点，且过点P(1，
32
)．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设F1、F2是椭圆G的左焦点和右焦点，过F2的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF1的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．
设F1、F2是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=
3a
2
上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为
3
4
3
4
．
（2013•湛江二模）设F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点，若直线x=ma （m＞1）上存在一点P，使△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则m的取值范围是（　　）

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