Question

（2012•桂林模拟）设F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过左焦点F₁的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂是以AF₂为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是（　　）

• A．

  6

  -

  3

• B．

  6

  -2
• C．

  6 + 3

  3

• D．9-6

  2

Answer 1

分析：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=

2

|AB|=|

2

BF₂|，设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|=

2

m，根据椭圆的定义可建立m，a之间的关系，然后根据B为直角，根据勾股定理可得a，c直角的关系，可求离心率

解答：解：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=

2

|AB|=|

2

BF₂|，
设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|=

2

m
由椭圆定义可知，AF₁=2a-

2

m，BF₁=（1+

2

）m-2a，BF₂=4a-（

2

+1）m
∴BF₂=4a-（

2

+1）m=m
∴m=（4-2

2

）a
∵B=90°
∴BF12+BF22=F1F22
∴4(

2

-1)2a2+4(2-

2

)2a2=4c²
整理可得，

c2

a2

=9-6

2

∴e=

c

a

=

6

-

3

故选A

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．