Question

如图所示，|

AB

|=2，|

AC

|=1，∠BAC=120°，O为△ABC的内心，则

AO

?

AC

的值（　　）

• A、

  1+ 7

  4

• B、

  3- 7

  2

• C、

  5- 7

  2

• D、

  7 -1

  4

Answer 1

分析：根据题中数据，在△ABC中利用余弦定理算出BC=

7

，△ABC面积为S=

3

2

．算出内切圆的半径r=

3

7 +3

．设内切圆与AC的切点为D，连结OD，可得∠OAD=60°．Rt△AOD中利用三角函数的定义算出AO=3-

7

，再根据向量数量积的定义加以计算，可得

AO

•

AC

的值．

解答：解：∵△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴根据余弦定理，得BC=

AB2+AC2-2AB•ACcos120°

=

7

．
△ABC面积为S=

1

2

AB•AC•sin∠BAC=

1

2

×2×1×

3

2

=

3

2

，
设△ABC内切圆的半径为r，
可得S=

1

2

（AB+BC+CA）r=

3

2

，
即

1

2

（2+

7

+1）r=

3

2

，
解得r=

3

7 +3

，
设内切圆与AC的切点为D，连结OD，
∵AO平分∠BAC，∠BAC=120°，
∴∠OAD=60°，
Rt△AOD中，AO=

OD

sin∠OAD

=

r

sin60°

=

2

7 +3

=3-

7

，
因此，

AO

•

AC

=

|AO|

•

|AC|

•cos∠OAC=（3-

7

）•1•cos60°=

3- 7

2

．
故选：B

点评：本题给出△ABC的内切圆心为O，求

AO

•

AC

的值．着重考查了利用余弦定理解三角形、三角形的面积公式、三角形内切圆的性质和向量数量积计算公式等知识，属于中档题．