Question

【题目】如图所示，已知曲线C1：y=（x＞0）及曲线C2：y= (x>0)．C1上的点Pn的横坐标为an，过C1上的点Pn(n∈N＋)作直线平行于x轴，交曲线C2于点Qn，再过点Qn作直线平行于y轴，交曲线C1于点Pn＋1.

试求an＋1与an之间的关系，并证明a2n－1<<a2n(n∈N＋)．

Answer 1

【答案】，证明见解析.

【解析】

由已知，Pn，从而有，由Qn在y=上，代入可得 ，由a1＞0，及 ，知an＞0，下证：

解法一：由=，可得an+1与异号，即可证明．

解法二：由 ，可得=，=，可得，利用等比数列的通项公式可得an，进而证明．

由已知，Pn，从而有，

因为Qn在y=上，所以有=，

解得 ，

由a1＞0，及 ，知an＞0，

下证：

解法一：因为=，所以an+1与异号，

注意到＜0，知＜0，＞0，

即

解法二：由 ，可得=，=，

所以有，即是以为公比的等比数列；

设，则

解得，

从而有

由可得，

所以，．

所以．