Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），过双曲线上任意一点P分别作斜率为-$\frac{b}{a}$和$\frac{b}{a}$的两条直线l₁和l₂，设直线l₁与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线l₂与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则S•T的值为$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 不妨设点P在第一象限，设点P（x₀，y₀），得到直线l₁的方程为y-y₀=-$\frac{b}{a}$（x-x₀），直线l₂的方程为y-y₀=$\frac{b}{a}$（x-x₀），再分别求出A，B，C，D的坐标，表示出S，T，计算ST即可．

解答 解：不妨设点P在第一象限，设点P（x₀，y₀）
∴直线l₁的方程为
y-y₀=-$\frac{b}{a}$（x-x₀），
直线l₂的方程为
y-y₀=$\frac{b}{a}$（x-x₀），
∴A（0，y₀+$\frac{b}{a}$x₀），
B（x₀+$\frac{a}{b}$x₀，0），
D（0，y₀-$\frac{b}{a}$x₀），
C（x₀-$\frac{a}{b}$y₀，0），
∴S=$\frac{1}{2}$（y₀+$\frac{b}{a}$x₀）（x₀+$\frac{a}{b}$x₀），T=-$\frac{1}{2}$（y₀-$\frac{b}{a}$x₀）（x₀-$\frac{a}{b}$y₀），
∴ST=-$\frac{1}{4}$（y₀²-$\frac{b}{a}$x₀²）（x₀²-$\frac{a}{b}$y₀²）=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4}$

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．