Question

19．对于函数f（x），方程f（x）=x的解称为f（x）的不动点，方程f[f（x）]=x的解称为f（x）的稳定点．
①设函数f（x）的不动点的集合为M，稳定点的集合为N，则M⊆N；
②函数f（x）的稳定点可能有无数个；
③当f（x）在定义域上单调递增时，若x₀是f（x）的稳定点，则x₀是f（x）的不动点；
上述三个命题中，所有真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 若M=∅，则M⊆N显然成立；若M≠∅，由t∈M，证明t∈N，说明①正确；举例说明②正确；利用反证法说明③正确．

解答 解：①若M=∅，则M⊆N显然成立；                       
若M≠∅，设t∈M，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，∴t∈N，
故M⊆N，∴①正确；
②取f（x）=x，则方程f（x）=x的解有无数个，即不动点有无数个，
∵不动点一定是稳定点，∴函数f（x）的稳定点可能有无数个，故②正确；
③设x₀是f（x）的稳定点，则f（f（x₀））=x₀，设f（x₀）＞x₀，f（x）是R上的增函数，
则f（f（x₀））＞f（x₀），∴x₀＞f（x₀），矛盾；
若x₀＞f（x₀），f（x）是R上的增函数，
则f（x₀）＞f（f（x₀）），∴f（x₀）＞x₀矛盾．
故f（x₀）=x₀，∴x₀是函数f（x）的不动点，故③正确．
∴正确命题的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．