题目内容

已知曲线C：f（x）=3x²-1，C上的两点A，A_n的横坐标分别为2与a_n（n=1，2，3，…），a₁=4，数列{x_n}满足 $数学公式$ $数学公式$ 、设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点p_n（x_n，f（x_n）），使得点p_n处的切线与AA_n平行，
（I）建立x_n与a_n的关系式；
（II）证明： $数学公式$ 是等比数列；
（III）当D_n+1?D_n对一切n∈N₊恒成立时，求t的范围．

解：（I）因为曲线在p_n处的切线与AA_n平行
∴6x_n= $\text{[math]}$ ?2x_n=a_n+2
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，?x_n+1=t（x_n-1）²+1
从而log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1）?log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]
∴{log_t（x_n-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由（II）知：log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）2^n-1∴ $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$
∴a_n+1＜a_n，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（I）因为曲线在p_n处的切线与AA_n平行，所以6x_n= $\text{[math]}$ ，由此可知2x_n=a_n+2．
（Ⅱ）由题意知 $\text{[math]}$ ，所以x_n+1=t（x_n-1）²+1，log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，由此可知{log_t（x_n-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由题设知：log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）2^n-1，所以 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，由此可求出t的范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．