题目内容
已知曲线C：f（x）=x+
（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为
8
8
．
分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．
解答：解：由题意设点P（x
0，x
0+
），则B（0，x
0+
），
又与直线l垂直的直线的斜率为-1，故方程为y-（x
0+
）=-（x-x
0）
和方程y=x联立可得x=y=x
0+
，故点A（x
0+
，x
0+
），
故△ABP的面积S=
|x
0||x
0+
-（x
0+
）|
=
|x
0||
|=
a，解得a=2，
又因为f（x）=x+
，所以f′（x）=1-
，故切线率为k=1-
，
故切线的方程为y-（x
0+
）=（1-
）（x-x
0），
令x=0，可得y=
，故点N（0，
），
联立方程y=x可解得x=y=2x
0，即点M（2x
0，2x
0），
故△OMN的面积为
•|
||2x
0|=2a，
则△OMN与△ABP的面积之比为 8．
故答案为：8．
点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．
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