题目内容

已知曲线C：f（x）=x+
ax
（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为
8
8
．
分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．
解答：解：由题意设点P（x0，x0+
a
x0
），则B（0，x0+
a
x0
），
又与直线l垂直的直线的斜率为-1，故方程为y-（x0+
a
x0
）=-（x-x0）
和方程y=x联立可得x=y=x0+
a
2x0
，故点A（x0+
a
2x0
，x0+
a
2x0
），
故△ABP的面积S=
1
2
|x0||x0+
a
2x0
-（x0+
a
x0
）|
=
1
2
|x0||
a
2x0
|=
1
4
a，解得a=2，
又因为f（x）=x+
a
x
，所以f′（x）=1-
a
x2
，故切线率为k=1-
a
x
2
0
，
故切线的方程为y-（x0+
a
x0
）=（1-
a
x
2
0
）（x-x0），
令x=0，可得y=
2a
x0
，故点N（0，
2a
x0
），
联立方程y=x可解得x=y=2x0，即点M（2x0，2x0），
故△OMN的面积为
1
2
•|
2a
x0
||2x0|=2a，
则△OMN与△ABP的面积之比为 8．
故答案为：8．
点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=
t
3
[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠
1
2
，t≠1)、设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点pn（xn，f（xn）），使得点pn处的切线与AAn平行，
（I）建立xn与an的关系式；
（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
（III）当Dn+1?Dn对一切n∈N+恒成立时，求t的范围．
已知曲线C：f（x）=x3+1，则与直线y=-
1
3
x-4垂直的曲线C的切线方程为（　　）
（2009•温州二模）已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．
已知曲线C：f（x）=x3．
（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f′（x）；
（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．

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