Question

已知曲线C：f（x）=x³．
（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f′（x）；
（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据导数的定义求f（x）的导函数f′（x）；
（2）根据导数的几何意义求切线方程．

解答：解：（1）设函数f（x）在（x，x+△x）上的平均变化率为

△y

△x

=

f(x+△x)-f(x)

△x

=

(x+△x)3-x3

△x

=

x3+3x2•△x+3x•(△x)2+(△x)3-x3

△x

3x²+3x•△x+（△x）²，
∴f'（x）=

lim

△x→0

(3x2+3x•△x+(△x)2)=3x²．
（2）∵f'（x）=3x²，
∴f'（1）=3，f（1）=1，
∴曲线C上横坐标为1的点处的切线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2．

点评：本题主要考查导数的定义，以及导数的几何意义，利用导数和瞬时变化率之间的关系求导数是解决本题的关键．