题目内容

已知曲线C：f（x）=x3+1，则与直线y=-
1
3
x-4垂直的曲线C的切线方程为（　　）
分析：利用切线与直线y=-
1
3
x-4垂直，得到切线的斜率，也就是曲线在切点处的导数，通过计算，得出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程．
解答：解：设切点M（x0，y0）
∵切线与直线y=-
1
3
x-4垂直
∴切线的斜率为3，
∴曲线在点M处的导数y′=3x02=3，即x0=±1．
当x0=1时，y0=2，利用点斜式得到切线方程：3x-y-1=0；
当x0=-1时，y0=0，利用点斜式得到切线方程：3x-y+3=0．
综上所述：切线的方程为3x-y-1=0或3x-y+3=0．
故选C．
点评：本题考查的导数的几何意义、两条直线垂直斜率的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=
t
3
[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠
1
2
，t≠1)、设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点pn（xn，f（xn）），使得点pn处的切线与AAn平行，
（I）建立xn与an的关系式；
（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
（III）当Dn+1?Dn对一切n∈N+恒成立时，求t的范围．
已知曲线C：f（x）=x+
ax
（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为
8
8
．
（2009•温州二模）已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．
已知曲线C：f（x）=x3．
（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f′（x）；
（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．

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