题目内容

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件 $数学公式$ ≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

解：设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+ $\text{[math]}$ d．
同除以（n+1），得 $\text{[math]}$ ．
则M≥ $\text{[math]}$ =
$\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$
因此|S|≤ $\text{[math]}$ （n+1） $\text{[math]}$ ，
且当 a= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，d= $\text{[math]}$ 时，
S=（n+1）〔 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 〕
=（n+1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n+1） $\text{[math]}$
由于此时4a=3nd，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以，S的最大值为 $\text{[math]}$ （n+1） $\text{[math]}$ ．
分析：设公差为d，a_n+1=a，由S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+ $\text{[math]}$ d得， $\text{[math]}$ ，则有M≥ $\text{[math]}$ ，下面由基本不等式的性质可解．
点评：本题为数列和不等式的结合，正确变形时解决问题的关键，属中档题．