Question

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

Answer 1

分析：设公差为d，a_n+1=a，由S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+

n(n+1)

2

d得，a+

nd

2

=

S

n+1

，则有M≥

4

10

(

S

n+1

)2，下面由基本不等式的性质可解．

解答：解：设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+

n(n+1)

2

d．
同除以（n+1），得 a+

nd

2

=

S

n+1

．
则M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=

4

10

(a+

nd

2

)2+

1

10

(4a-3nd)2≥

4

10

(

S

n+1

)2
因此|S|≤

10

2

（n+1）

M

，
且当 a=

3

10

M

，d=

4

10

•

1

n

M

 时，
S=（n+1）〔

3

10

M

+

n

2

•

4

10

•

1

n

M

〕
=（n+1）

5

10

M

=

10

2

（n+1）

M

由于此时4a=3nd，故 a12+an+12=

4

10

(

S

n+1

)2=

4

10

•

10

4

M=M．
所以，S的最大值为

10

2

（n+1）

M

．

点评：本题为数列和不等式的结合，正确变形时解决问题的关键，属中档题．