Question

【题目】

已知函数的反函数.定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”.

（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数对任何，满足“积性质”.求的表达式.

Answer 1

【答案】（1）不满足“1和性质”（2）（3）

【解析】

⑴分别求出的反函数和，然后对照，如果解析式相同，就满足“1和性质”，否则，不满足；

⑵知道函数的类型为一次函数，可用待定系数法设出函数解析式，因为满足“2和性质”，建立方程，求出参数的值；

⑶设出函数图象上任意一点A，根据反函数的性质，A关于直线y=x对称的点在其反函数图象上，进行计算和代换.

（1）函数的反函数是，

，

而，其反函数为

故函数不满足“1和性质” …… 4分

(2)设函数满足“2和性质”，.

,…… 6分

而，得反函数，…… 8分

由“2和性质”定义可知对恒成立.

即所求一次函数. ……10分

（3）设且点图像上，则在函数

图像上，

故可得， ……12分

令，. ……14分

综上所述，此时其反函数是，

而故互为反函数. ……16分