Question

9．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线方程为4x-3y=0，则双曲线的离心率为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程，结合题意可得a、b的关系，进而计算可得c与a的关系，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由双曲线的一条渐近线方程为4x-3y=0，即y=$\frac{4}{3}$x，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的渐近线方程分析a、b的关系．