Question

对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=

a2-ab，a＞b b2-ab，a≤b

．设函数f（x）=（2x-1）*（x-1），且f（x）的图象与函数y=2x+m（m∈R）恰有三个交点，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知a*b=

a2-ab，a＞b b2-ab，a≤b

．设函数f（x）=（2x-1）*（x-1），正确得出函数F（x）=f（x）-2x-m解析式画出图象，数形结合可求出m的取值范围．

解答： 解：∵a*b=

a2-ab，a＞b b2-ab，a≤b

．
由f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2x2-x，x＞0 -x2+x，x≤0

，
令函数F（x）=f（x）-2x=

2x2-3x，x＞0 -x2-x，x≤0

，
其图象如下图所示：

若f（x）的图象与函数y=2x+m（m∈R）恰有三个交点，
则函数F（x）的图象与直线y=m恰有三个交点，
由图可得：m∈(-

9

8

，

1

4

)，
故m的取值范围是(-

9

8

，

1

4

)．
故答案为：(-

9

8

，

1

4

)

点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，其中根据已知求出函数的解析式，是解答的关键．