Question

6．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，ac=6且（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求△ABC的面积S；
（2）若b=$\sqrt{7}$，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理将边化角，再利用和角公式化简得出cosB；
（2）根据余弦定理解出a+c，使用正弦定理得出．

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=60°．sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-7}{12}=\frac{1}{2}$，解得a²+c²=13．
又∵ac=6，∴a=2，c=3或a=3，c=2．
∴a+c=5．
∵$\frac{b}{sinB}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$，∴sinA+sinC=$\frac{a+c}{b}sinB$=$\frac{5\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．