题目内容

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则式子的最小值为（ ）
A．10
B．13
C．14
D．16
【答案】分析：根据[x]表示不超过x的最大整数，先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到an，进而得到 an+90n，用基本不等式即可求出式子的最小值．
解答：解：根据题意：[x]=
∴x[x]=
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：0，1，2，3，…，n-1
∴an=
∴≈13.4128
∴[]的最小值为13
故选B
点评：本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）=
f(x)，当x≥0
-f(x)，当x＜0
，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．
定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1，5]=1．[-1，3]=-2，当x∈[0，n]（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a，则：
（1）a3=
6
6

（2）式子
an+90
n
的最小值为
181
13
181
13
．
定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则式子
an+90
n
的最小值为（　　）
（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．
（1）若a1=-c-2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
已知向量
m
=（2sinx，cosx），
n
=（
3
cosx，2cosx）定义函数f（x）=loga（
m
•
n
-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调递增区间．

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