题目内容
已知向量
=（2sinx，cosx），
=（
cosx，2cosx）定义函数f（x）=loga（
•
-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调递增区间．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调递增区间．
分析：（1）先根据向量的数量积求出
•
-1，再根据二倍角公式及辅助角公式对其进行化简，根据正弦函数的性质可求
函数的最小正周期
（2）结合符合函数的单调性的性质可知，需要对a进行分类讨论：0＜a＜1时，要求函数f（x）的单调递增区间，只需求解函数y=2sin(2x+
)的单调递减且要保证y＞0；a＞1时，要求函数f（x）的单调递增区间，只需求解函数y=2sin(2x+
)的单调递增且要保证y＞0
| m |
| n |
函数的最小正周期
（2）结合符合函数的单调性的性质可知，需要对a进行分类讨论：0＜a＜1时，要求函数f（x）的单调递增区间，只需求解函数y=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵
•
=2
sinxcosx+2cos2x=
sin2x+cos2x+1
∴
•
-1=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)
∴f(x)=loga(
•
-1)=loga[2sin(2x+
)]
∴函数的最小正周期为T=π
（2）∵0＜a＜1时，令
+2kπ≤2x+
＜π+2kπ，k∈Z
∴
+kπ≤x＜
+kπ，k∈Z
函数y=2sin(2x+
)在[kπ+
，kπ+
）上单调递减且y＞0
∴由复合函数的单调性可知，f（x）的单增区间是[kπ+
，kπ+
)，k∈Z
∵a＞1时，2kπ＜2x+
≤
+2kπ，k∈Z
∴-
+kπ＜x≤
+kπ，k∈Z
函数y=2sin(2x+
)在[kπ-
，kπ+
]上单调递增且y＞0
∴由复合函数的单调性可知，f（x）的单增区间是(kπ-
，kπ+
)，k∈Z
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
∴
| m |
| n |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f(x)=loga(
| m |
| n |
| π |
| 6 |
∴函数的最小正周期为T=π
（2）∵0＜a＜1时，令
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
函数y=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
∴由复合函数的单调性可知，f（x）的单增区间是[kπ+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
∵a＞1时，2kπ＜2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
函数y=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
∴由复合函数的单调性可知，f（x）的单增区间是(kπ-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，及利用三角函数的二倍角公式及辅助角公式对三角函数进行化简为y=Asin（ωx+φ）的 形式，而本题中复合函数的单调性的求解一定要注意不要漏掉考虑函数的定义域
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