题目内容

（2007•奉贤区一模）已知：函数f(x)=
x
ax+b
(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=
2
3
，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{
1
an
}为等差数列，并求出{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
1
2
．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据f（2）的值建立关于a和b的等量关系，
解法一：根据f（x）=x 有唯一根，可得ax2+（b-1）x=0有唯一根，利用判别式进行求解，求出a和b的值；
解法二：根据f（x）=x 有唯一根，可得x（
1
ax+b
-1）=0，解得一根为0，从而
1
ax+b
-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；
（2）将an=
an-1
an-1+1
取倒数，化简可得{
1
an
}为等差数列，从而求出{an}的通项公式．
（3）设{bn} 的首项为
1
m
，公比为q，然后求出这个无穷等比数列的各项和可得到m和q的等量关系，然后任意求出一组符合题意数列即可．
解答：解：（1）f(2)=
2
3
⇒
2
2a+b
=
2
3
 （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
x
ax+b
=x即ax2+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
x
ax+b
=x
x（
1
ax+b
-1）=0（1分）
　 x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：
1
ax+b
-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an=
an-1
an-1+1
⇒
1
an
-
1
an-1
=1 （2分）
∴{
1
an
 }为等差数列（1分）
∴
1
an
=
1
a1
+(n-1)×1=n （2分）
所以 an=
1
n
 （1分）
（3）设{bn} 的首项为
1
m
，公比为q （m∈N*，
1
q
∈N* ）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
1
m
1-q
=
1
2
，
2
m
=1-q；
当m=3 时，q=
1
3
，bn=(
1
3
)n；
当m=4时，q=
1
2
，bn=(
1
2
)n+1 （6分）
点评：本题主要考查了等差数列的判定和数列的求和，同时考查了方程的根的有关问题，属于中档题．
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（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
1
2
．若存在，找出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．
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