题目内容
（2007•奉贤区一模）已知：函数f(x)=
(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=
，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{
}为等差数列，并求出{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．
| x |
| ax+b |
| 2 |
| 3 |
（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{
| 1 |
| an |
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
| 1 |
| 2 |
分析：（1）根据f（2）的值建立关于a和b的等量关系，
解法一：根据f（x）=x 有唯一根，可得ax2+（b-1）x=0有唯一根，利用判别式进行求解，求出a和b的值；
解法二：根据f（x）=x 有唯一根，可得x（
-1）=0，解得一根为0，从而
-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；
（2）将an=
取倒数，化简可得{
}为等差数列，从而求出{an}的通项公式．
（3）设{bn} 的首项为
，公比为q，然后求出这个无穷等比数列的各项和可得到m和q的等量关系，然后任意求出一组符合题意数列即可．
解法一：根据f（x）=x 有唯一根，可得ax2+（b-1）x=0有唯一根，利用判别式进行求解，求出a和b的值；
解法二：根据f（x）=x 有唯一根，可得x（
| 1 |
| ax+b |
| 1 |
| ax+b |
（2）将an=
| an-1 |
| an-1+1 |
| 1 |
| an |
（3）设{bn} 的首项为
| 1 |
| m |
解答：解：（1）f(2)=
⇒
=
（1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
=x即ax2+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
=x
x（
-1）=0（1分）
x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：
-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an=
⇒
-
=1 （2分）
∴{
}为等差数列（1分）
∴
=
+(n-1)×1=n （2分）
所以 an=
（1分）
（3）设{bn} 的首项为
，公比为q （m∈N*，
∈N* ）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
=
，
=1-q；
当m=3 时，q=
，bn=(
)n；
当m=4时，q=
，bn=(
)n+1 （6分）
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2a+b |
| 2 |
| 3 |
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
| x |
| ax+b |
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
| x |
| ax+b |
x（
| 1 |
| ax+b |
x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：
| 1 |
| ax+b |
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an=
| an-1 |
| an-1+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an-1 |
∴{
| 1 |
| an |
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
所以 an=
| 1 |
| n |
（3）设{bn} 的首项为
| 1 |
| m |
| 1 |
| q |
所以这个无穷等比数列的各项和为：
| ||
| 1-q |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| m |
当m=3 时，q=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当m=4时，q=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查了等差数列的判定和数列的求和，同时考查了方程的根的有关问题，属于中档题．
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