Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为,侧棱长为,E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C.

Answer 1

证明：把正四棱柱如图放置在坐标系中, 则各点坐标为A(, 0, 0), C(0,, 0), B₁(,,), D₁(0, 0,), E(,,), F(,,).假设平面AB₁C的法向量为n₁=(1, λ₁, μ₁), 则n₁应垂直于和.而,,

∴及.

∴λ₁=1,.∴n₁=(1, 1,).

再假设平面D₁EF的法向量为n₂=(1, λ₂, μ₂), 则n₂应垂直于、, 而,,

∴,

.

∴λ₂=1,.∴n₂=(1, 1,).

由于n₁n₂=1+1-=1+1-2=0,

∴n₁⊥n₂.因此平面D₁EF⊥平面AB₁C.