Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，M、N分别为B₁B和A₁D的中点．
（Ⅰ）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角A-MN-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求直线MN与平面ADD₁A₁所成的角，关键是找出线面角，取AA₁中点P，连接PM，PN．则MP⊥面ADD₁A₁．故可求．
（Ⅱ）要求二面角A-MN-A₁的余弦值，关键是作出二面角A-MN-A₁的平面角，利用定义可求，在△AMN中，易知AN=MN=

5

2

，AM=

2

，从而求得AG=

30

5

．在△A₁G A中，可求cos∠A₁G A=-

2

3

．

解答：解：（Ⅰ）取AA₁中点P，连接PM，PN．则MP⊥面ADD₁A₁．
所以∠PNM为直线MN与平面ADD₁A₁所成的角．…（2分）
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PNM=

PM

PN

=2，∠PNM=arctan2．
故直线MN与平面ADD₁A₁所成的角为arctan2．…（6分）

（Ⅱ）∵N是A₁D的中点，M是BB₁的中点，
∴A₁N=AN，A₁M=AM．
又MN为公共边，∴△A₁MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A₁G，
则∠A₁G A即为二面角A-MN-A₁的平面角．…（8分）
在△AMN中，易知AN=MN=

5

2

，AM=

2

，从求得AG=

30

5

．
在△A₁G A中，AA₁=2，A₁G=GA=

30

5

，
∴cos∠A₁G A=-

2

3

．…（12分）

点评：本题以正四棱柱为载体，考查线面角，面面角，关键是作、证、求，考查学生的运算能力．